Question

如圖，P為正方形ABCD的對稱中心，A（0，3），B（1，0），直線OP交AB于N，DC于M，點H從原點O出發沿x軸的正半軸方向以1個單位每秒速度運動，同時，點R從O出發沿OM方向以個單位每秒速度運動，運動時間為t．

求：（1）C點的坐標為          ；
（2）當t為何值時，△ANO與△DMR相似？
（3）①求△HCR面積S與t的函數關系式；
②并求以A、B、C、R為頂點的四邊形是梯形時t的值及S的值．

Answer 1

（1）（4，1）；（2）t＝2或t＝3；（3）（3）①S＝－t²＋2t（0＜t≤4），S＝t²－2t（t＞4）；
②t＝4.5，S＝或t＝，S＝或t＝，S＝．

試題分析：（1）作CQ⊥x軸，根據正方形的性質可得AB＝BC，∠ABC＝90°，即有∠CBQ＝∠OAB，從而可以證得△AOB≌△BQC，即得CQ＝OB，BQ＝OA，再結合A（0，3），B（1，0）求解即可；
（2）由P是正方形的對稱中心可求得點P的坐標，即可得到∠MOB、∠AON的度數，再根據路程、速度、時間的關系表示出OR、OH的長，即可得到RH∥y軸，即R、H的橫坐標相同，根據平行線的性質可得∠DMR＝∠ANO，若△ANO與△DMR相似，則∠MDR＝∠AON＝45°或∠DRM＝∠AON＝45°，從而可以求得結果；
（3）①由R速度為，H速度為1，且∠ROH＝45°可得tan∠ROH＝1，根據RH始終垂直于x軸可得RH＝OH＝t， 設△HCR的邊RH的高為h，再分0＜t≤4與t＞4兩種情況根據三角形的面積公式求解；
②以A、B、C、R為頂點的梯形，有三種可能：Ⅰ．頂邊和底邊分別為BC、AR，此時BC∥AR；Ⅱ．頂邊、底邊分別為CR、AB，此時CR∥AB，且R與M重合；Ⅲ．當AC和BR是梯形的底時，根據梯形的性質及一次函數的性質求解即可．
（1）作CQ⊥x軸，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＝∠OAB，
∴△AOB≌△BQC，
∴CQ＝OB，BQ＝OA，
∵A（0，3），B（1，0），
∴BQ＝3，CQ＝1，
∴OQ＝4，
∴C（4，1）；
（2）∵P是正方形的對稱中心，由A（0，3），C（4，1），
∴P（2，2）；
∴∠MOB＝45°，
∴∠AON＝45°，
∵點R從O出發沿OM方向以個單位，每秒速度運動，運動時間為t，
∴OR＝t，OH＝t．
∴RH∥y軸，即R、H的橫坐標相同；
∵AB∥CD，
∴∠DMR＝∠ANO，
若△ANO與△DMR相似，則∠MDR＝∠AON＝45°或∠DRM＝∠AON＝45°，
①當∠MDR＝45°時，R、P重合，∵R（2，2），∴t＝2；
②當∠DRM＝45°時，DR∥y軸，∵D（3，4），∴R（3，3），∴t＝3，
∴當t＝2或t＝3時，△ANO與△DMR相似；
（3）①∵R速度為，H速度為1，且∠ROH＝45°，
∴tan∠ROH＝1，
∴RH始終垂直于x軸，
∴RH＝OH＝t， 
設△HCR的邊RH的高為h，
∴h＝|4－t|．
∴S_△HCR＝h•t＝|－t²＋4t|，
∴S＝－t²＋2t（0＜t≤4）；S＝t²－2t（t＞4）；
②以A、B、C、R為頂點的梯形，有三種可能：
Ⅰ．頂邊和底邊分別為BC、AR，此時BC∥AR．
如圖，延長AD，使其與OM相交于點R，

∴AD的斜率＝tan∠BAO＝，
∴直線AD為：y＝＋3．
∴R坐標為（4.5，4.5），
∴此時四邊形ABCR為梯形，
∴t＝4.5．S＝；
Ⅱ．頂邊、底邊分別為CR、AB，此時CR∥AB，且R與M重合．
∴CD的斜率＝－3，且直線CD過點C，
∴直線CD為：y－1＝－3•（x－4）
∴y＝－3x＋13，
∵OM與CD交于點M（即R），
∴M為（，），
∴此時四邊形ABCR為梯形，
∴t＝．S＝
Ⅲ．當AC和BR是梯形的底時，設AC的解析式是y＝kx＋b，
則，解得，
則解析式是y＝－x＋4，
設BC的解析式是y＝－x＋c，
則－1＋c＝0，解得c＝1，
則函數的解析式是y＝－x＋1，
∴R坐標（，）
∴t＝，S＝．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．