Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，直線y＝x+經過點A，與拋物線的另一個交點為點C(3，m)，線段PQ在線段AB上移動，PQ＝1，分別過點P、Q作x軸的垂線，交拋物線于E、F，交直線于D、G．

(1)求拋物線的解析式；

(2)設四邊形DEFG的面積為S，求S的最大值；

(3)在線段PQ的移動過程中，以D，E，F，G為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+x+2；(2)當m＝時，S的最大值為：；(3)點P(1，0)．

【解析】

（1）直線經過點A、C，則點A（-1，0）、（3，2），將點A、C的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）由 ，即可求解；

（3）線段PQ在線段AB上移動，出現平行四邊形時，只能是在AC之上，即：DE=FG，即可求解.

解：(1)直線y＝x+經過點A、C，則點A(﹣1，0)、(3，2)，

將點A、C的坐標代入拋物線表達式得： ，

解得： ，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2；

(2)設點P(m，0)，則點Q(m+1，0)，D(m，m+)，點G(m+1，m+1)，點E(m，﹣m2+m+2)、點F(m+1，﹣m2+m+3)，

S＝ (DE+FG)×PQ

∵ ，

故S有最大值，當m＝時，S的最大值為：；

(3)線段PQ在線段AB上移動，出現平行四邊形時，只能是在AC之上，

即：DE＝FG，由(2)得： ，

解得：m＝1，

即點P(1，0)．