Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2﹣4ax﹣交x軸正半軸于點A（5，0），交y軸于點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點P為第一象限內拋物線上一點，連接AP，將射線AP繞點A逆時針旋轉60°，與過點P且垂直于AP的直線交于點C，設點P橫坐標為t，點C的橫坐標為m，求m與t之間的函數關系式（不要求寫出t的取值范圍）；

（3）如圖2，在（2）的條件下，過點C作直線交x軸于點D，在x軸上取點F，連接FP，點E為AC的中點，連接ED，若F的橫坐標為-，∠AFP＝∠CDE，且∠FAP+∠ACD＝180°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣（2）m＝t2+t+3（3）-

【解析】

（1）把點A坐標代入即能求a的值．
（2）由AP⊥PC和旋轉60°得∠PAC=60°得到特殊Rt△APC．利用已知點P、C的橫坐標的條件，分別過點C、點P作坐標軸的垂線，構造三垂直模型下的相似，且相似比即為PC與AP的比．用t、m表示相似三角形對應邊的長度，利用相似比為列方程，即得到m與t的關系式．
（3）由特殊Rt△APC中∠ACP=30°與點E為AC的中點的條件得到CE=AE=AP；構造PQ=AP（Q在x軸上）得∠PAQ=∠PQA，再由∠FAP+∠ACD=180°和∠FAP鄰補角為∠PAN得到∠ACD=∠PAN，即得到∠ACD=∠PAQ=∠PQA，因此構造的△QFP與△CDE全等，得到QF=CD．由四邊形APCD內角和為360°可求得∠CDF=60°，作CH⊥x軸構造特殊直角三角形，利用CH=MN即可以t的式子表示CH，進而用t表示CD．又易由t的式子表示QF，列方程即求得t的值．再代回（2）的式子即求出m的值．

（1）∵拋物線y＝ax2﹣4ax﹣過點A（5，0），

∴25a﹣20a﹣＝0，

解得：a＝，

∴拋物線的解析式為；

（2）過點P作MN⊥x軸于點N，過點C作CM⊥MN于點M，

∴∠M＝∠ANP＝90°，

∴∠MCP+∠CPM＝90°.

∵CP⊥AP，

∴∠APC＝90°，

∴∠CPM+∠APN＝90°，

∴∠MCP＝∠APN，

∴△MCP∽△NPA，

∴，

∵∠APC＝90°，∠PAC＝60°，

∴∠ACP＝30°，tan∠PAC＝，

∴，即.

∵xP＝t，xC＝m，

∴MC＝t﹣m，PN＝yP＝，

∴t﹣m＝，

整理得：m＝，

（3）過點C作CH⊥x軸于點H，在x軸上取點Q，連接PQ且使PQ＝AQ，

∴∠CHD＝90°，∠PAN＝∠PQN，

∵∠ACP＝30°，∠APC＝90°，點E是AC中點，

∴AP＝AC＝CE＝AE，

∴CE＝PQ，

∵∠FAP+∠ACD＝180°，∠FAP+∠PAN＝180°，

∴∠ACD＝∠PAN，

∴∠ACD＝∠PQN，

在△CDE與△QFP中

，

∴△CDE≌△QFP（AAS），

∴CD＝QF，

由（1）得，AN＝t﹣5，PM＝，PN＝，

∴CH＝MN＝PM+PN＝＝.

∵∠CDH＝360°﹣∠CDP﹣∠APC﹣∠FAP＝360°﹣（∠ACD+∠FAP）﹣∠ACP﹣∠APC＝360°﹣180°﹣30°﹣90°＝60°，

∴sin∠CDH＝，

∴CD＝＝，

∵F（﹣，0），

∴QF＝AF+AQ＝AF+2AN＝5﹣（﹣）+2（t﹣5）＝2t﹣，

∴，

解得：t1＝﹣3，t2＝7，

∵點P在第一象限，t＞5，

∴t＝7，

∴m＝.