Question

【題目】如圖1,已知菱形ABCD的邊長為2，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點。點D的坐標為(，3),拋物線y=ax2+b(a≠0)經過AB、CD兩邊的中點.

(1)求這條拋物線的函數解析式；

(2)將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移(如圖2),過點B作BE⊥CD于點E,交拋物線于點F,連接DF.設菱形ABCD平移的時間為t秒(0<t<3)

①是否存在這樣的t，使DF=FB?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

②連接FC,以點F為旋轉中心,將△FEC按順時針方向旋轉180°,得△FE′C′,當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中(包括邊界)時,求t的取值范圍.(直接寫出答案即可)

Answer 1

【答案】（1）y=x2+3；（2）①t=或t= ；②t

【解析】

（1）根據已知條件求出AB和CD的中點坐標，然后利用待定系數法求該二次函數的解析式；

（2）①由D（，3），則平移后坐標為D（+t，3），F（t，-t2+3）；則有DF2=（+t-t）2+（-t2+3-3）2；FB2=（-t2+3）2，再根據DF=FB，即可求得t；

②如圖3所示，畫出旋轉后的圖形，認真分析滿足題意要求時，需要具備什么樣的限制條件，然后根據限制條件列出不等式，求出的取值范圍，確定限制條件是解題的關鍵

(1)由題意得AB的中點坐標為(，0),CD的中點坐標為(0，3)，

分別代入y=ax2+b得：，解得，

∴y=x2+3.

（2）①D（，3），則平移后坐標為D（+t，3），F（t，-t2+3）；

DF2=（+t-t）2+（-t2+3-3）2；FB2=（-t2+3）2

DF=FB，則（+t-t）2+（-t2+3-3）2=7（-t2+3）2

解得：t2=2或5，則t=或t=；

②如圖3所示,依題意作出旋轉后的三角形△FE′C′,過C′作MN⊥x軸，分別交拋物線、x軸于點M、點N.

觀察圖形可知,欲使△FE′C′落在指定區域內,必須滿足：EE′BE且MNC′N.

∵F(t,3t2),∴EF=3(3t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2，

由EE′BE,得2t23,解得t.

∵C′E′=CE=,∴C′點的橫坐標為t，

∴MN=3(t)2,又C′N=BE′=BEEE′=32t2

由MNC′N,得3(t)232t2,解得t或t(舍去).

∴t的取值范圍為：t.