Question

【題目】如圖，在△ABC 中，∠A=∠B=30°，E,F 在 AB 上，∠ECF=60°.

（1）畫出△BCF 繞點 C 順時針旋轉 120°后的△ACK；

（2）在(1)中，若 AE2＋ EF2＝ BF2，求證 BF＝ CF.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）旋轉后CB與CA重合，作∠KCA=∠FCB，截取KC=FC即可；（2）連結KE，作KH⊥AC于H，先得到∠ACE+∠BCF=60°，再根據旋轉的性質得BF=AK，∠KCA=∠FCB，CK=CF，∠KAC=∠B=30°，則∠KCE=∠FCE，可根據“SAS”判斷△CKE≌△CFE，所以KE=EF，由于AE2+EF2=BF2，則AE2+KE2=AK2，根據勾股定理的逆定理得∠AEK=90°，且∠KEC=∠FEC=45°，可計算∠BCF=45°，設KH=a，在Rt△KHC中可得KC=a；在Rt△KHA中得AK=2a，所以AK：KC=2a：a=，則BF：CF=，由此即可得結論.

（1）如圖，

（2）證明：連結KE，作KH⊥AC于H，如圖，

∵∠A=∠B=30°，∠MCN=60°，

∴∠ACB=120°，

∴∠ACE+∠BCF=60°，

∵△BCF繞點C順時針旋轉120゜后的△ACK，

∴BF=AK，∠KCA=∠FCB，CK=CF，∠KAC=∠B=30°，

∴∠KCE=∠KCA+∠ACE=∠FCB+∠ACE=60°，

∴∠KCE=∠FCE，

在△CKE和△CFE中，

，

∴△CKE≌△CFE，

∴KE=EF，∠KEC=∠FEC，

∵AE2+EF2=BF2，

∴AE2+KE2=AK2，

∴△AEK為直角三角形，

∴∠AEK=90°，

∴∠KEC=∠FEC=45°，

∴∠BCF=180°-45°-60°-30°=45°，

∴∠KCA=45°，

設KH=a，在Rt△KHC中，KC=a；

在Rt△KHA中，∠KAC =30°，

∴AK=2a，

∴AK：KC=2a：a=，

∴BF：CF=，

即BF=CF.