Question

【題目】如圖1，已知是等邊三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且，將繞點C順時針旋轉至，連接EF.

（1）證明：；

（2）如圖2，如果點E在線段AB的延長線上，其他條件不變，請你寫出線段AB、DB、AF之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）如果點E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請在圖3的基礎上將圖形補充完整，并寫出AB、DB、AF之間的數量關系，不必證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝BD﹣AF，證明見解析；（3）補充圖形見解析，AB，DB，AF之間的數量關系是：AF＝AB+BD．

【解析】

（1）過點E作EG∥BC交AC于點G，可得△AEG為等邊三角形，進而可得BE=CG，易證∠BED＝∠GCE，再根據SAS可證△BDE≌△GEC，可得BD＝EG＝AE，進一步即得結論；

（2）結論：AB＝BD﹣AF；如圖2，延長EF、CA交于點G，先由旋轉的性質證得△CEF是等邊三角形，進而可推得ED＝EF，然后利用三角形的外角性質可推得∠FCG＝∠FEA，進而可得∠D＝∠FEA，易證∠DBE＝∠FAE＝60°，于是根據AAS可證△EDB≌△FEA，可得BD＝AE，進一步根據等線段代換即可證得結論；

（3）AB，DB，AF之間的數量關系是：AF＝AB+BD．如圖3中，先根據旋轉的性質判斷△CEF是等邊三角形，可得EF＝EC，進而可得ED＝EF，然后根據三角形的外角性質和角度之間的關系可得∠BDE＝∠AEF，易證∠B＝∠EAF＝60°，于是根據AAS可證△EDB≌△FEA，可得BD＝AE，EB＝AF，進一步即可證得結論.

解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC＝∠BCA＝60°，

∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF，∴BE＝AF，

如圖1，過點E作EG∥BC交AC于點G，則△AEG為等邊三角形，∴AE=AG=EG，∴BE=CG，

∵DE＝CE，∴∠CDE＝∠ECD，

又∵∠CDE+∠BED＝∠ABC＝∠ACD＝∠ECD+∠GCE，

∴∠BED＝∠GCE，

在△BDE和△GEC中，

，

∴△BDE≌△GEC（SAS），

∴BD＝EG＝AE，

又∵AF＝BE，

∴AB＝BE+AE＝AF+BD；

（2）結論：AB＝BD﹣AF；

理由：如圖2，延長EF、CA交于點G，

∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF，

∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，

∴△CEF是等邊三角形，∴EF＝EC，

又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∠EFC＝∠BAC＝60°，

∵∠EFC＝∠G+∠FCG，∠BAC＝∠G+∠FEA，

∴∠FCG＝∠FEA，

∵∠FCG＝∠ECD，∠D＝∠ECD，

∴∠D＝∠FEA，

由旋轉的性質得：∠CBE＝∠CAF＝120°，又∵∠BAC=60°，

∴∠DBE＝∠FAE＝60°，

在△EDB和△FEA中，，

∴△EDB≌△FEA（AAS），

∴BD＝AE，EB＝AF，

∵AE=AB+BE，

∴BD＝FA+AB，

即AB＝BD﹣AF；

（3）如圖3中，AB，DB，AF之間的數量關系是：AF＝AB+BD．

∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF，

∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，∴△CEF是等邊三角形，∴EF＝EC，

又∵ED＝EC，∴ED＝EF，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠BAC＝60°，

又∵∠B＝∠CAF，∴∠CAF＝60°，

∴∠EAF＝180°﹣∠CAF﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠B＝∠EAF；

∵ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC，

∴∠BDE＝∠ECD+∠DEC＝∠EDC+∠DEC，

又∵∠EDC＝∠B+∠BED，

∴∠BDE＝∠B+∠BED+∠DEC＝60°+∠BEC，

∵∠AEF＝∠CEF+∠BEC＝60°+∠BEC，

∴∠BDE＝∠AEF，

在△EDB和△FEA中， ，

∴△EDB≌△FEA（AAS），

∴BD＝AE，EB＝AF，

∵BE＝AB+AE，

∴AF＝AB+BD，

即AB，DB，AF之間的數量關系是：AF＝AB+BD．