Question

【題目】關于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求證：無論k為何值，方程總有實數根．
（2）設x1 ， x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的兩個根，記S= +x1+x2 ， S的值能為2嗎？若能，求出此時k的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當k=1時，原方程可化為2x+2=0，解得：x=﹣1，此時該方程有實根；

當k≠1時，方程是一元二次方程，

∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2

=4k2﹣8k+8

=4（k﹣1）2+4＞0，

∴無論k為何實數，方程總有實數根，

綜上所述，無論k為何實數，方程總有實數根．

（2）

解：由根與系數關系可知，x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

若S=2，則 +x1+x2=2，即 +x1+x2=2，

將x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，

解得：k=1（舍）或k=2，

∴S的值能為2，此時k=2．

【解析】本題主要考查一元二次方程的定義、根的判別式、根與系數的關系，熟練掌握方程的根與判別式間的聯系，及根與系數關系是解題的關鍵．（1）分兩種情況討論：①當k=1時，方程是一元一次方程，有實數根；②當k≠1時，方程是一元二次方程，所以證明判別式是非負數即可；（2）由韋達定理得x1+x2=﹣ ，x1x2= ，代入到 +x1+x2=2中，可求得k的值．
【考點精析】利用求根公式和根與系數的關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．