Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動．若P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發，在運動過程中，△PBQ的最大面積是（ ）

A.18cm2
B.12cm2
C.9cm2
D.3cm2

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，
∴ = = ，
∴BC=8，
由題意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
設△PBQ的面積為S，
則S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴當t=3時，S有最大值為9，
即當t=3時，△PBQ的最大面積為9cm2；
故選C．
先根據已知求邊長BC，再根據點P和Q的速度表示BP和BQ的長，設△PBQ的面積為S，利用直角三角形的面積公式列關于S與t的函數關系式，并求最值即可本題考查了有關于直角三角形的動點型問題，考查了解直角三角形的有關知識和二次函數的最值問題，解決此類問題的關鍵是正確表示兩動點的路程（路程=時間×速度）；這類動點型問題一般情況都是求三角形面積或四邊形面積的最值問題，轉化為函數求最值問題，直接利用面積公式或求和、求差表示面積的方法求出函數的解析式，再根據函數圖象確定最值，要注意時間的取值范圍．