Question

【題目】若一次函數ymxn與反比例函數y同時經過點P(x，y)則稱二次函數ymx2nxk為一次函數與反比例函數的“共享函數”，稱點P為共享點．

（1）判斷y2x1與y是否存在“共享函數”，如果存在，請求出“共享點”．如果不存在，請說明理由；

（2）已知：整數m，n，t滿足條件t<n<8m，并且一次函數y=(1+n)x+2m+2與反比例函數y存在“共享函數”y=(m+t)x2+(10mt)x2020，求m的值．

（3）若一次函數yxm和反比例函數y在自變量x的值滿足mxm6的情況下，其“共享函數”的最小值為3，求其“共享函數”的解析式．

Answer 1

【答案】（1）存在共享函數，共享點的坐標為，；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據“共享函數”的定義聯立一次函數和反比例函數，解方程即可求出共享點；

（2）根據“共享函數”與一次函數對應系數之間的關系列方程組，分別用表示和，再根據解不等式組求出的取值范圍，該范圍內的整數就是的值；

（3）根據“共享函數”定義列出解析式，根據二次函數的增減性對進行分類討論，列出關于取最小值的方程，求出的值，進而確定“共享函數”解析式．

（1）聯立，

解得，

則存在共享函數，共享點的坐標為，；

（2）根據題意得：，

解得．

∵，

∴

解得，

∴，

∴，

∴．

∵是整數，

∴；

（3）“共享函數”為：，對稱軸為

①當，即時

函數在處，取得最小值3，

即：，

解得：（舍），；

②當時，

函數在處，取得最小值，

即：，

方程無解；

③當時，

函數在處．取得最小值，

即：，

解得：（舍去負值），

故的值為4或．

將和分別代入，得

“共享函數”的解析式為：或.