Question

矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，A、C 兩點的坐標分別為A(6，0)、C(0，3)，直線與BC邊相交于點D.

（1）求點D的坐標；

（2）若拋物線經過A、D兩點，試確定此拋物線的解析式；

（3）設（2）中的拋物線的對稱軸與直線AD交于點M，點P為對稱軸上一動點，以P、A、M為頂點的三角形與△ABD相似，求符合條件的所有點P的坐標.

Answer 1

 (1) ∵四邊形OABC為矩形，C(0,3)  

∴BC∥OA，點D的縱坐標為3.  

∵直線與BC邊相交于點D，

∴. ∴點D的坐標為(2,3)  

     (2) ∵若拋物線經過A(6,0)、D(2,3)兩點，

∴                           -

解得：∴拋物線的解析式為

(3) ∵拋物線的對稱軸為x=3，

設對稱軸x=3與x軸交于點P₁，∴BA∥MP₁，

∴∠BAD=∠AMP₁.

①∵∠AP₁M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP₁.

∴P₁ (3，0).                         

②當∠MAP₂=∠ABD=90°時，△ABD∽△MAP_2.

∴∠AP₂M=∠ADB

∵AP₁=AB，∠AP₁ P₂=∠ABD=90°

∴△AP₁ P₂≌△ABD

∴P₁ P₂=BD=4                     

∵點P₂在第四象限，∴P₂ (3，-4).    -

∴符合條件的點P有兩個，P₁ (3，0)、P₂ (3，-4).