Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，，點為上的動點，且.

(1)求的長度；

(2)在點D運動的過程中，弦AD的延長線交BC的延長線于點E，問ADAE的值是否變化？若不變，請求出ADAE的值；若變化，請說明理由.

(3)在點D的運動過程中，過A點作AH⊥BD，求證：.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；（3）證明見解析.

【解析】（1）過A作AF⊥BC，垂足為F，交⊙O于G，由垂徑定理可得BF=1，再根據已知結合RtΔAFB即可求得AB長；

（2）連接DG，則可得AG為⊙O的直徑，繼而可證明△DAG∽△FAE，根據相似三角形的性質可得ADAE=AFAG，連接BG，求得AF=3，FG=，繼而即可求得ADAE的值；

（3）連接CD，延長BD至點N，使DN=CD，連接AN，通過證明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，繼而可得AB=AN，再根據AH⊥BN，即可證得BH=HD+CD.

（1)過A作AF⊥BC，垂足為F，交⊙O于G，

∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=BC=1，

在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=；

（2）連接DG，

∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG為⊙O的直徑，∴∠ADG=∠AFE=90°，

又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE，

∴AD：AF=AG：AE，

∴ADAE=AFAG，

連接BG，則∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AFFG，

∵AF==3，

∴FG=，

∴ADAE=AFAG=AF（AF+FG）=3×=10；

（3）連接CD，延長BD至點N，使DN=CD，連接AN，

∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，

∴∠ADC=∠ADN，

∵AD=AD，CD=ND，

∴△ADC≌△ADN，

∴AC=AN，

∵AB=AC，∴AB=AN，

∵AH⊥BN，

∴BH=HN=HD+CD.