Question

【題目】如圖，在中，，，，點是線段上任意一點，過點作交于點，過點作交于點，過點作交于點．設線段的長為．

（1）用含的代數式表示線段的長．

（2）當四邊形為菱形時，求的值．

（3）設與矩形重疊部分圖形的面積為，求與之間的函數關系式．

（4）連結、，當與垂直或平行時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）的值是或．

【解析】

（1）先根據平行線分線段成比例定理可得：，所以表示CE=2x，AE=4-2x，同理得EF的長，證明四邊形CEFG為矩形，可得CG=EF=2-x，分P在G的左側和右側分別計算PG的長；

（2）先根據兩組對邊分別平行可得四邊形EPBF是平行四邊形，當EF=EP時，列方程解出即可；

（3）先計算當P與G重合時，EF=CP，x=1，分兩種情況：

①當0＜x≤1時，②當1＜x＜2時，分別根據三角形面積公式可得結論；

（4）當PF⊥EG時，△PFG∽△EGC，列比例式得方程解出即可；

當PF∥EG時，四邊形GEFP是平行四邊形，根據EF=GP，列方程解出即可．

解：（1）如圖1，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴四邊形為矩形，

∴，

∴，

或；

（2）∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

當時，即，

；

（3）當與重合時，如圖2，，

即，

，

分兩種情況：

①當時，如圖1，；

②當時，如圖3，交于，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（4）當時，如圖4，

∵，，

∴，

∴，即，

解得：，（舍去），

當時，四邊形是平行四邊形，

∴，即，

∴．

綜上，的值是或．