Question

【題目】如圖，D為直角△ABC中斜邊AC上一點，且AB＝AD，以AB為直徑的⊙O交AD于點F，交BD于點E，連接BF，BF．

（1）求證：BE＝FE；

（2）求證：∠AFE＝∠BDC；

（3）已知：sin∠BAE＝，AB＝6，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BC＝12．

【解析】

（1）連接AE，由AB是直徑知AE⊥BD，結合AB=AD知∠BAE=∠DAE，依據∠EBF=∠DAE，∠BFE=∠BAE可得∠EBF=∠BFE，據此即可得證；

（2）由AB=AD知∠ABD=∠2，結合∠1=∠ABD知∠1=∠2，根據∠1+∠AFE=∠2+∠BDC=180°即可得出∠AFE=∠BDC；

（3）作DG⊥BC，由sin∠BAE=，AB=AD=6知DE=BE=2，BD=4，再證∠DBG=∠BAE得DG=BDsin∠DBG=4，BG=4，證△CDG∽△CAB得=，據此計算可得答案．

（1）如圖，連接AE，

∵AB是圓的直徑，

∴∠AEB＝90°，即AE⊥BD，

∵AB＝AD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∵∠EBF＝∠DAE，∠BFE＝∠BAE，

∴∠EBF＝∠BFE，

∴BE＝EF；

（2）∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠2，

∵∠1＝∠ABD，

∴∠1＝∠2，

又∵∠1+∠AFE＝∠2+∠BDC＝180°，

∴∠AFE＝∠BDC；

（3）如圖，過點D作DG⊥BC于點G，

∵sin∠BAE＝，AB＝AD＝6，

∴DE＝BE＝2，

∴BD＝4，

又∵∠DBG+∠ABD＝∠BAE+∠ABD＝90°，

∴∠DBG＝∠BAE，

∴DG＝BDsin∠DBG＝4×＝4，

∴BG＝4，

∵DG∥AB，

∴△CDG∽△CAB，

∴＝，即＝，

解得：BC＝12．