Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，、坐標為、，為線段上的一點．

（1）如圖1，若為的中點，點、分別是、邊上的動點，且保持，則在點、運動的過程中，探究線段、之間的位置關系與數量關系，并說明理由．

（2）如圖2，若為線段上異于、的任意一點，過點作，交、分別于、兩點，為上一點，且，試判斷線段與的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由見解析；（2）OD=AE，理由見解析

【解析】

（1）連接OP．只要證明△PON≌△PAM即可解決問題；
（2）作AG⊥x軸交OP的延長線于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再證明△PAE≌△PAG即可解決問題；

（1）結論：PM=PN，PM⊥PN．理由如下：
如圖1中，連接OP．
∵A、B坐標為（6，0）、（0，6），
∴OB=OA=6，∠AOB=90°，
∵P為AB的中點，
∴OP=AB=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠PAM=45°，
∴∠OPA=90°，
在△PON和△PAM中，

，
∴△PON≌△PAM（SAS），
∴PN=PM，∠OPN=∠APM，
∴∠NPM=∠OPA=90°，
∴PM⊥PN，PM=PN．
（2）結論：OD=AE．理由如下：
如圖2中，作AG⊥x軸交OP的延長線于G．
∵BD⊥OP，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，
∴∠AOG=∠DBO，
∵OB=OA，
∴△DBO≌△GOA，
∴OD=AG，∠BDO=∠G，
∵∠BDO=∠PEA，
∴∠G=∠AEP，
在△PAE和△PAG中，

，
∴△PAE≌△PAG（AAS），
∴AE=AG，
∴OD=AE．