Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=－＋b(b＞0,b為常數)的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸交于點C，與y軸正半軸相交于點D.

(1)若直線AB與⊙O相切于弧CD上一點，求b的值；

(2)若直線AB與⊙O有兩個交點F、G.

①b為何值時，⊙O上有且只有3個點到直線AB的距離為2？并求出此時直線被⊙O所截的弦FG的長；

②是否存在這樣的b，使得∠GOF=90°？若存在，求出b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=5；（2）①b=，FG=4；②b=.

【解析】

（1）先求出A、B的坐標，進而求出AB的長度．由切線的性質可得OM=4，OM⊥AB于M，再由三角形的面積公式即可得出結論；

（2）①由⊙O上有且只有3個點到AB的距離為2，且OM=4，得出ON=2，△BON∽△BAO，再由相似三角形的對應邊成比例即可求出b的值．連接OF．由勾股定理和垂徑定理即可得到結論；

②當b=時，∠GOF=90°．通過作OP⊥ FG于P，得到△BOP∽△BAO，再由相似三角形的性質得到OP的長．在△OPG中，由勾股定理得到PG的長，從而得到△OFG為等腰直角三角形，即可得到結論．

（1）如圖1．

∵一次函數y=-與x軸，y軸交于AB，∴A（）B（0，b），∴AB=．

∵AB與⊙O相切于弧CD上一點，r=4，∴OM=4，OM⊥AB于M，∴S△AOB=，∴b=5．

（2）①如圖2．∵⊙O上有且只有3個點到AB的距離為2，且OM=4，∴ON=2，∴△BON∽△BAO，∴=，∴，∴b=．過O作JK∥FG交⊙O于J，K，則J和K到直線AB的距離等于2．

連接OF．∵ON=2，OF=4，∴FN=2，∴FG=4；

②如圖3，當b=時，∠GOF=90°．理由如下：

作OP⊥ FG于P，∴△BOP∽△BAO，∴==，∴OP=2．

∵OG=4，∴OP=PG=2，∴∠OGF=45°，∴△OFG為等腰直角三角形，∴∠FOG=90°．