Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是菱形，AD=5,過點D作AB的垂線DH,垂足為H,交對角線AC于M，連接BM，且AH=3．

（1）求證:DM=BM；

（2）求MH的長；

（3）如圖2，動點P從點A出發，沿折線ABC方向以2個單位／秒的速度向終點C勻速運動，設△PMB的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數關系式；

（4）在（3）的條件下，當點P在邊AB上運動時是否存在這樣的 t值，使∠MPB與∠BCD互為余角，若存在,則求出t值，若不存，在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）；（3）； （4）．

【解析】試題分析：（1）根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；

（2）根據勾股定理即可得到結論；

（3）由△BCM≌△DCM計算出BM=DM，分兩種情況計算即可；

（4）由菱形的性質判斷出△ADM≌△ABM，再判斷出△BMP是等腰三角形，即可得出結論．

試題解析：解：（1）∵AC是菱形ABCD的對角線，∴∠ACD=∠ACB，CD=CB．在△DCM和△BCM中，∵CD=CB，∠DCM=∠BCM，CM=CM，∴△DCM≌△BCM，∴DM=BM；

（2）在Rt△ADH中，AD=5，AH=3，∴DH=4．在Rt△BHM中，BM=DM，HM=DH﹣DM=4﹣DM，BH=AB﹣AH=2，根據勾股定理得：DM2﹣MH2=BH2，即：DM2﹣（4﹣DM）2=4，∴DM=，∴MH=；

（3）在△BCM和△DCM中，∵CM=CN，∠ACD=∠ACB，CB=CD，∴△BCM≌△DCM，∴BM=DM=，∠CDM=∠CBM=90°．

①當P在AB之間時，即0＜t＜2.5時，S=（5﹣2t）×=﹣t+；

②當P在BC之間時，即2.5＜t≤5時，S=（2t﹣5）×=t﹣；

綜上所述： ；

（4）存在．∵∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，∴∠ADM+∠BCD=90°．∵∠MPB+∠BCD=90°，∴∠MPB=∠ADM．∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DAM=∠BAM．∵AM=AM，∴△ADM≌△ABM，∴∠ADM=∠ABM，∴∠MPB=∠ABM．∴MP=MB．∵MH⊥AB，∴PH=BH=2，∴BP=2BH=4．∵AB=5，∴AP=1，∴t==．