Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點，連接AE，將矩形沿AE翻折，使點B落在CD邊F處，連接AF，在AF上取一點O,以點O為圓心，OF為半徑作⊙O與AD相切于點P.AB=6，BC=

（1）求證：F是DC的中點.

（2）求證：AE=4CE.

（3）求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）易求DF長度即可判斷；

（2）通過30°角所對的直角邊等于斜邊一半證得AE=2EF，EF=2CE即可得；

（3）先證明△OFG為等邊三角形，△OPG為等邊三角形，即可確定扇形圓心角∠POG和∠GOF的大小均為60°,所以兩扇形面積相等， 通過割補法得出最后陰影面積只與矩形OPDH和△OGF有關，根據面積公式求出兩圖形面積即可.

（1）∵AF=AB=6,AD=BC=,

∴DF=3,

∴CF=DF=3,

∴F是CD的中點

（2）∵AF=6, DF=3,

∴∠DAF=30°，

∴∠EAF=30 ,

∴AE=2EF;

∴∠EFC=30 ,EF=2CE,

∴AE=4CE

（3）如圖，連接OP,OG,作OH⊥FG,

∵∠AFD=60°,OF=OG,

∴△OFG為等邊三角形，

同理△OPG為等邊三角形，

∴∠POG=∠FOG=60°,OH= ,

∴S扇形OPG=S扇形OGF,

∴S陰影=（S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH）+(S扇形OGF-S△OFG)=S矩形OPDH-S△OFG

= ,

即圖中陰影部分的面積.