Question

如圖，AB是⊙O的直徑，經(jīng)過(guò)圓上點(diǎn)D的直線CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)A作直線AB的垂線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．且AB=

5

，BD=2．求線段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=90°；
又∵OB=OD，
∴∠2=∠B，
而∠ADC=∠B，
∴∠1+∠ADC=∠ADO=90°，即CD⊥OD．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴直線CD是⊙O的切線；

（2）∵在直角△ADB中，AB=

5

，BD=2，
∴根據(jù)勾股定理知，AD=

AB2-BD2

=1．
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°．
又∠ADB=90°，
∴△AED∽△BAD，
∴

AD

AE

=

BD

BA

，即

1

AE

=

2

5

，
解得，AE=

5

2

，即線段AE的長(zhǎng)度是

5

2

．