Question

【題目】如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．
（1）當A、B、C三點在同一直線上時（如圖1），求證：M為AN的中點；
（2）將圖1中△BCE繞點B旋轉，當A、B、E三點在同一直線上（如圖2），求證：△CAN為等腰直角三角形；
（3）將圖1中△BCE繞點B旋轉到圖3的位置時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，試證明之；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：如圖1，∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM，

∵點M為DE的中點，

∴DM=EM，

在△ADM和△NEM中，

，

∴△ADM≌△NEM（AAS），

∴AM=MN，

∴M為AN的中點

（2）解：證明：如圖2，∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，

∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°，

∵AD∥NE，

∴∠DAE+∠NEA=180°，

∵∠DAE=90°，

∴∠NEA=90°，

∴∠NEC=135°，

∵A，B，E三點在同一直線上，

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°，

∴∠ABC=∠NEC，

∵△ADM≌△NEM（已證），

∴AD=NE，

∵AD=AB，

∴AB=NE，

在△ABC和△NEC中，

，

∴△ABC≌△NEC（SAS），

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE，

∵∠BCE=90°，

∴∠ACN=∠BCE=90°，

∴△ACN為等腰直角三角形．

（3）解：△ACN仍為等腰直角三角形．

證明：如圖3，A、B、N三點在同一條直線上，

∵AD∥EN，∠DAB=90°，

∴∠ENA=∠DAN=90°，

∵∠BCE=90°，

∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°，

∵A、B、N三點在同一條直線上，

∴∠ABC+∠CBN=180°，

∴∠ABC=∠NEC，

∵△ADM≌△NEM（已證），

∴AD=NE，

∵AD=AB，

∴AB=NE，

在△ABC和△NEC中，

，

∴△ABC≌△NEC（SAS），

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE，

∴∠ACN=∠BCE=90°，

∴△ACN為等腰直角三角形．

【解析】（1）由EN∥AD和點M為DE的中點，可以證得△ADM≌△NEM，從而證得M為AN的中點；（2）根據(jù)已知條件，易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，從而可得△ABC≌△NEC，進而可以證得AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，可得△ACN為等腰直角三角形；（3）根據(jù)已知條件，易得△ADM≌△NEM，根據(jù)四邊形BCEF內角和為360°，可得∠ABC=∠FEC，從而可以證得△ABC≌△NEC，進而可以證得AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，即可得出△ACN為等腰直角三角形．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)．