Question

【題目】閱讀下列材料： 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為邊AC上一點，DA=DB，E為BD延長線上一點，∠AEB=120°，猜想AC、BE、AE的數量關系，并證明．
小明的思路是：根據等腰△ADB的軸對稱性，將整個圖形沿著AB邊的垂直平分線翻折，得到點C的對稱點F，如圖2，過點A作AF⊥BE，交BE的延長線于F，請補充完成此問題；
參考小明思考問題的方法，解答下列問題：
如圖3，等腰△ABC中，AB=AC，D、F在直線BC上，DE=BF，連接AD，過點E作EG∥AC交FH的延長線于點G，∠DFG+∠D=∠BAC．

（1）探究∠BAD與∠CHG的數量關系；
（2）請在圖中找出一條和線段AD相等的線段，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：閱讀材料，如圖2中，結論：AC=BE+ AE．理由如下，

∵DA=DB，

∴∠DAB=∠DBA，

∵AF⊥BF，

∴∠F=∠C=90°，

在△ABF和△BAC中，

，

∴△ABF≌△BAC，

∴AC=BF，

∵∠AEB=120°=∠F+∠FAE，

∴∠FAE=30°，∴EF= AE，

∴AC=BF=BE+EF=BE+ AE，

∴AC=BE+ AE．

問題：（1）如圖3中，

∵∠ACD=∠D+∠CAD，∠D+∠CFG=∠BAC，

∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=∠CFH+∠D+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD，

∴∠CHG=∠BAD．

（2）解：結論：AD=FG．理由如下，

如圖3中，延長BF到R，使得BR=CD，連接AR，作AJ∥CD交EG的延長線于J，連接FJ．

∵AJ∥CE，AC∥JE，

∴四邊形ACEJ，四邊形ACGK是平行四邊形，

∴AJ=CE，AC=JE，

∵AB=CA，

∴JE=AB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABR=∠ACD，

在△ABR和△ACD中，

，

∴△ABR≌△ACD，

∴AR=AD，

∵BR=CD，BF=ED，

∴FR=CE=AJ，EF=BD，∵AJ∥RF，

∴四邊形ARFJ是平行四邊形，

∴JF=AR=AD，

在△ABD和△JEF中，

，

∴△ABD≌△JEF，

∴∠1=∠BAD，

∵∠BAD=∠CHG=∠2，

∴∠1=∠2，

∴FG=FJ，

∴AD=FG．

【解析】閱讀材料：如圖2中，結論：AC=BE+ AE．理由如下，只要證明△ABF≌△BAC，推出AC=BF，再證明EF= AE，可得AC=BF=BE+EF=BE+ AE． 問題：（1）由∠ACD=∠D+∠CAD，∠D+∠CFG=∠BAC，推出∠CHG=∠CFH+∠FCH=∠CFH+∠D+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD，可得∠CHG=∠BAD．（2）結論：AD=FG．如圖3中，延長BF到R，使得BR=CD，連接AR，作AJ∥CD交EG的延長線于J，連接FJ．首先證明四邊形ACEJ，四邊形AJFR是平行四邊形，再證明△ABD≌△JEF，想辦法證明∠1=∠2，即可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對線段垂直平分線的性質的理解，了解垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．