Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別是邊BC，邊AB上的點(diǎn)，連結(jié)AC，PQ，點(diǎn)B1是點(diǎn)B關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)．

（1）若四邊形OABC為矩形，如圖1，
①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②若BQ：BP=1：2，且點(diǎn)B1落在OA上，求點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
（2）若四邊形OABC為平行四邊形，如圖2，且OC⊥AC，過點(diǎn)B1作B1F∥x軸，與對(duì)角線AC、邊OC分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F．若B1E：B1F=1：3，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為m，求點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)，并直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA=4，OC=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）；

②如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，

∵BQ：BP=1：2，點(diǎn)B關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)為B1，

∴B1Q：B1P=1：2，

∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°，

∴∠PB1D=∠B1QA，

∴△PB1D∽△B1QA，

∴ ，

∴B1A=1，

∴OB1=3，即點(diǎn)B1（3，0）

（2）

解：∵四邊形OABC為平行四邊形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，

∴∠OAC=30°，

∴點(diǎn)C（1， ），

∵B1E：B1F=1：3，

∴點(diǎn)B1不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合，也不在線段EF的延長線上，

①當(dāng)點(diǎn)B1在線段FE的延長線上時(shí)，如圖2，延長B1F與y軸交于點(diǎn)G，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為m，B1F∥x軸，

B1E：B1F=1：3，

∴B1G=m，

設(shè)OG=a，

則GF= ，OF= ，

∴CF= ，

∴EF= ，B1E= ，

∴B1G=B1E+EF+FG= ，

∴a= ，即B1的縱坐標(biāo)為 ，

m的取值范圍是 ；

②當(dāng)點(diǎn)B1在線段EF（除點(diǎn)E，F(xiàn)）上時(shí)，如圖3，延長B1F與y軸交于點(diǎn)G，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為m，B1F∥x軸，

B1E：B1F=1：3，

∴B1G=m，

設(shè)OG=a，

則GF= ，OF= ，

∴CF= ，

∴FE= ，B1F= ，

∴B1G=B1F+FG= ，

∴a= ，即點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)為 ，

故m的取值范圍是

【解析】（1）①根據(jù)OA=4，OC=2，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；②利用相似三角形的判定和性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，且分點(diǎn)在線段EF的延長線和線段上兩種情況進(jìn)行分析解答．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題．