Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，CD⊥AB于點C，交半圓于點E，DF切半圓于點F．已知∠AEF=135°．
（1）求證：DF∥AB；
（2）若OC=CE，BF= ，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OF，

∵A、E、F、B四點共圓，

∴∠AEF+∠B=180°，

∵∠AEF=135°，

∴∠B=45°，

∴∠AOF=2∠B=90°，

∵DF切⊙O于F，

∴∠DFO=90°，

∵DC⊥AB，

∴∠DCO=90°，

即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°，

∴四邊形DCOF是矩形，

∴DF∥AB

（2）解：過E作EM⊥BF于M，

∵四邊形DCOF是矩形，

∴OF=DC=OA，

∵OC=CE，

∴AC=DE，

設DE=x，則AC=x，

∵在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2 ，由勾股定理得：OF=OB=2，

則AB=4，BC=4﹣x，

∵AC=DE，OCDF=CE，

∴由勾股定理得：AE=EF，

∴∠ABE=∠FBE，

∵EC⊥AB，EM⊥BF

∴EC=EM，∠ECB=∠M=90°，

在Rt△ECA和Rt△EMF中

∴Rt△ECA≌Rt△EMF，

∴AC=MF=DE=x，

在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，

∴BF=BM﹣MF=BC﹣MF=4﹣x﹣x=2 ，

解得：x=2﹣ ，

即DE=2﹣ ．

【解析】（1）證明：連接OF，根據圓內接四邊形的性質得到∠AEF+∠B=180°，由于∠AEF=135°，得出∠B=45°，于是得到∠AOF=2∠B=90°，由DF切⊙O于F，得到∠DFO=90°，由于DC⊥AB，得到∠DCO=90°，于是結論可得；（2）過E作EM⊥BF于M，由四邊形DCOF是矩形，得到OF=DC=OA，由于OC=CE，推出AC=DE，設DE=x，則AC=x，在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2 ，由勾股定理得：OF=OB=2，則AB=4，BC=4﹣x，由于AC=DE，OCDF=CE，由勾股定理得：AE=EF，通過Rt△ECA≌Rt△EMF，得出AC=MF=DE=x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，問題可得．
【考點精析】通過靈活運用切線的性質定理，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑即可以解答此題．