Question

【題目】如圖，AB是O的直徑，AE交O于點E，且與O的切線CD互相垂直，垂足為D．
（1）求證：∠EAC=∠CAB；
（2）若CD=4，AD=8：①求O的半徑；②求tan∠BAE的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．

∵CD是⊙O的切線，

∴CD⊥OC，

又∵CD⊥AE，

∴OC∥AE，

∴∠1=∠3，

∵OC=OA，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

即∠EAC=∠CAB；

（2）解：①連接BC．

∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AE于點D，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵∠1=∠2，

∴△ACD∽△ABC，

∴ ，

∵AC2=AD2+CD2=42+82=80，

∴AB= =10，

∴⊙O的半徑為10÷2=5．

②連接CF與BF．

∵四邊形ABCF是⊙O的內接四邊形，

∴∠ABC+∠AFC=180°，

∵∠DFC+∠AFC=180°，

∴∠DFC=∠ABC，

∵∠2+∠ABC=90°，∠DFC+∠DCF=90°，

∴∠2=∠DCF，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠DCF，

∵∠CDF=∠CDF，

∴△DCF∽△DAC，

∴ ，

∴DF= =2，

∴AF=AD﹣DF=8﹣2=6，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BFA=90°，

∴BF= =8，

∴tan∠BAD= ．

【解析】（1）首先連接OC，由CD是⊙O的切線，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根據平行線的性質與等腰三角形的性質，即可證得∠EAC=∠CAB；（2）①連接BC，易證得△ACD∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AB的長，繼而可得⊙O的半徑長；②連接CF與BF．由四邊形ABCF是⊙O的內接四邊形，易證得△DCF∽△DAC，然后根據相似三角形的對應邊成比例，求得AF的長，又由AB是⊙O的直徑，即可得∠BFA是直角，利用勾股定理求得BF的長，即可求得tan∠BAE的值．