Question

【題目】如果關于 x 的一元二次方程 a+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根比另一個根大 1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如，一元二次方程+x＝0 的兩個根是 ＝0，＝﹣1，則方程 +x＝0 是“鄰根方程”．

（1）通過計算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：

①﹣x﹣6＝0；

②2﹣2x+1＝0．

（2）已知關于 x 的方程﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m 是常數）是“鄰根方程”，求 m 的值；

（3）若關于 x 的方程 a+bx+1＝0（a、b 是常數，a＞0）是“鄰根方程”，令 t＝8a-，試求 t 的最大值．

Answer 1

【答案】（1）不是鄰根方程；是鄰根方程（2）或（3）

【解析】

（1）分別解出方程的根，令兩根相減，根據鄰根方程的定義進行判斷即可得解；

（2）解出方程的根，令兩根差的絕對值等于，從而得到關于的方程，解方程即可；

（3）利用根與系數的關系表示出，進一步化簡可得，整體代入再配方可得，即可確定的最大值．

解：（1）①

，

∴，

∵

∴不符合鄰根方程的定義

∴不是鄰根方程．

②

∵，，

∴

∴

∴，

∴

∴符合鄰根方程的定義

∴是鄰根方程．

（2）∵關于的方程（ 是常數）是鄰根方程

∴解方程可得：，

∴

∴，

∴或．

（3）∵關于的方程（、 是常數，）是鄰根方程，設兩個根為、

∴

∵，

∴

∴

∴

∴當時，．

故答案是：（1）不是鄰根方程；是鄰根方程（2）或（3）