Question

如圖，拋物線關于直線對稱，與坐標軸交于A、B、C三點，且AB=4，點D在拋物線上，直線是一次函數的圖象，點O是坐標原點.

（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線平分四邊形OBDC的面積，求k的值.
（3）把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線與直線交于M、N兩點，問在y軸正半軸上是否存在一定點P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關于y軸對稱？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）（2）（3）存在一點P（0，2），使直線PM與PN總是關于y軸對稱

解：（1）∵拋物線關于直線x=1對稱，AB=4，∴A(－1，0)，B(3，0) 。
∴可設拋物線的解析式為。
∵點D在拋物線上，∴，解得。
∴拋物線的解析式為，即。

（2）由（1）知，令x=0，得C(0, )，
∴CD//AB。
令，得l與CD的交點F()，
令，得l與x軸的交點E()，
由S_{四邊形OEFC}=S_{四邊形EBDF}得：OE+CF=DF+BE，
即：，解得。
∴當時，直線平分四邊形OBDC的面積。

（3）∵，
∴把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為。
假設在y軸上存在一點P(0，t)，t＞0，使直線PM與PN關于y軸對稱，過點M、N分別向y軸作垂線MM₁、NN_1，垂足分別為M₁、N₁，
∵∠MPO=∠NPO，∴Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁。
∴    ①。
不妨設M(x_M,y_M)在點N(x_N,y_N)的左側，
因為P點在y軸正半軸上，則①式變為。
又∵，
∴    ②。
把代入中，整理得。
∴，代入②得，解得t=2，符合條件。
∴在y軸上存在一點P（0，2），使直線PM與PN總是關于y軸對稱。
（1）由已知求出點A，B的坐標，設出交點式，將點D 的坐標代入即可求得拋物線的解析式。
（2）如圖，將S_{四邊形OEFC}和S_{四邊形EBDF}用k表示，根據S_{四邊形OEFC}=S_{四邊形EBDF}列方程求解即可。
（3）求出平移后的拋物線解析式，假設在y軸上存在一點P(0，t)，t＞0，使直線PM與PN關于y軸對稱，過點M、N分別向y軸作垂線MM₁、NN_1，垂足分別為M₁、N₁，不妨設M(x_M,y_M)在點N(x_N,y_N)的左側，由Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁得，即。把代入中，整理得，根據一元二次方程根與系數的關系得代入，即可求得t=2。