Question

【題目】如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AC延長線上一點，連接BD，在BC邊上取一點E，使得CD=CE，連接AE并延長交BD于點F．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：AF⊥BD；

（3）連接CF，點C 關于BD的對稱點是Q，連接FQ，用等式表示線段CF,CQ之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CQ=CF，理由見解析

【解析】

（1）根據題意補全圖形即可；

（2）根據SAS證明△ACE ≌△BCD，得出∠1=∠2，從而證出∠BFE=∠ACE即可．

（3）過C作CG⊥CF交AF于G，再根據∠ACB=90°，得出∠3=∠4，從而證出△ACG ≌△BCF，得出CG =CF，從而得出∠CFG=45°．再根據點C與 Q關于BD對稱，證出△CFQ是等腰直角三角形即可．

解：（1）如圖：

（2）在△ACE和△BCD中，

∴△ACE ≌△BCD （SAS）．

∴∠1=∠2．

∵∠AEC=∠BEF，

∴∠BFE=∠ACE．

∵∠ACE=90°，∴∠AFB=90°．

∴AF⊥BD．

（3）數量關系是：CQ=CF．

過C作CG⊥CF交AF于G．

∴∠GCF=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠3=∠4．

∵∠1=∠2，AC=BC，

∴△ACG ≌△BCF（ASA）．

∴CG =CF．∴△CGF是等腰直角三角形．

∴∠CFG=45°．∴∠CFD=45°．

∵點C與 Q關于BD對稱，∴CF =FQ．

∠CFD=∠QFD=45°．

∴△CFQ是等腰直角三角形．

∴CQ=CF．