Question

【題目】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，如果△ABC和△ADE均為等邊三角形（等邊三角形的三條邊都相等，三個角都是60°），點B、E、D三點在同一直線上，連接CD．則CD與BE的數(shù)量關(guān)系為______；∠BDC的度數(shù)為______度．

（2）探究：如圖2，若△ABC為三邊互不相等的三角形，以它的邊AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD與等邊△ACE，連接BE和CD相交于點O，AB交CD于點F，AC交BE于G，則CD與BE還相等嗎？若相等，請證明，若不相等，說明理由：并請求出∠BOD的度數(shù)？

Answer 1

【答案】（1）相等，60；（2）CD=BE ；∠BOD=60°.

【解析】

（1）由條件△ABC和△ADE均為等邊三角形，易證△ABE≌△ACD，從而得到對應(yīng)邊相等，即CD=BE；由△ABE≌△ACD，可得∠BEA=∠CDA，由點B，D，E在同一直線上，可求出∠BEA=120°，從而可以求出∠BDC的度數(shù)；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，進而解答即可．

（1）∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，

∴∠BAE=∠CAD．

在△ABE和△ACD中，

∵，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴CD=BE，

∵△ABE≌△ACD，

∴∠BEA=∠CDA，

∵△AED為等邊三角形，

∴∠AED=∠ADE=60°，

∵點B，D，E在同一直線上，

∴∠BEA=120°，

∴∠CDA=120°，

∴∠BDC=∠CDA-∠ADE=60°，

（2）∵以AB、AC為邊分別向外做等邊△ABD和等邊△ACE，

∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE（SAS）

∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，

∵∠ABE+∠BFO+∠BOD=∠ADC+∠AFD+∠BAD=180°，

又∠BFO=∠AFD，∠ADC=∠ABE

∴∠BOD=∠BAD=60°．