Question

【題目】在△ABC 中，AB=AC，∠CAB=50°.在△ABC 的外側作直線 AP，作 點 C 關于直線 AP 的對稱點 D，連接 BD，CD，AD，其中 BD 交直線 AP 于點 E．

（1）如圖 1，與 AD 相等的線段是_____；

（2）如圖 2，若∠PAC=20°，求∠BDC 的度數；

（3）如圖 3，當 65°<∠PAC<130°時，作 AF⊥CE 于點 F，若 EF=1，BE=5，求 DE 的長．

Answer 1

【答案】（1）AC，AB；（2）25°；（3）7.

【解析】

(1)易得與 AD 相等的線段是 AC，AB；

（2）由點 C 與點 D 關于直線 AP 對稱可得∠DAP=∠CAP=20°，∠DAC=40°∠ADC=70°，由（1）AD=AB,可得△ADB為等腰直角三角形，∠ADB=45°，可得∠BDC 的度數；

(3) 在 CE 上截取 GF=EF，連接 AG，點 C 與點 D 關于直線 AP 對稱可得：AD=AC，∠ADE=∠ACE，可證的△ACG≌△ABE，得DE=CE=CG+2EF=BE+2EF=7.

（1）如圖 1，與 AD 相等的線段是 AC，AB；

（2）∵點 C 與點 D 關于直線 AP 對稱，

∴AD=AC，∠DAP=∠CAP=20°，

∴∠DAC=40°，∠ADC=70°又∠CAB=50°，

∴∠DAB=90°，

∵AC=AB，

∴AD=AB，

∴∠ADB=45°，

∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=25°；

（3）在 CE 上截取 GF=EF，連接 AG，

∵點 C 與點 D 關于直線 AP 對稱,

∴AD=AC，∠ADE=∠ACE，

∵AD=AC=AB，

∴∠ADB=∠ABD，

∴∠ACE=∠ABD，

∵AF⊥CE，GF=EF，

∴AG=AE，

∴∠AGE=∠AEB，

∵∠AED=∠AEG，

∴∠AGE=∠AED，

∴∠AGC=∠AEB

在△ACG 和△ABE 中，

ACG ABD，AGC AEB， AC AB，

∴△ACG≌△ABE（AAS），

∴BE=CG，

∵BE=5，CE=1，

∴DE=CE=CG+2EF=BE+2EF=7.