Question

【題目】如圖，已知中，，點以每秒1個單位的速度從向運動，同時點以每秒2個單位的速度從向方向運動，到達點后，點也停止運動，設點運動的時間為秒.

(1)求點停止運動時，的長;

(2) 兩點在運動過程中，點是點關于直線的對稱點，是否存在時間，使四邊形為菱形?若存在，求出此時的值;若不存在，請說明理由.

(3) 兩點在運動過程中，求使與相似的時間的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或

【解析】

（1）求出點Q的從B到A的運動時間，再求出AP的長，利用勾股定理即可解決問題．

（2）如圖1中，當四邊形PQCE是菱形時，連接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．根據DQ=CK，構建方程即可解決問題．

（3）分兩種情形：如圖3-1中，當∠APQ=90°時，如圖3-2中，當∠AQP=90°時，分別構建方程即可解決問題．

（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB==10，

點Q運動到點A時，t==5，

∴AP=5，PC=1，

在Rt△PBC中，PB=．

（2）如圖1中，當四邊形PQCE是菱形時，連接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．

∵四邊形PQCE是菱形，

∴PC⊥EQ，PK=KC，

∵∠QKC=∠QDC=∠DCK=90°，

∴四邊形QDCK是矩形，

∴DQ=CK，

∴，

解得t=．

∴t=s時，四邊形PQCE是菱形．

（3）如圖2中，當∠APQ=90°時，

∵∠APQ=∠C=90°，

∴PQ∥BC，

∴，

∴，

∴．

如圖3中，當∠AQP=90°時，

∵△AQP∽△ACB，

∴，

∴，

∴，

綜上所述，或s時，△APQ是直角三角形．