Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C（0，3），拋物線的頂點為點D，聯結AC，BC，DB，DC．
（1）求這條拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）求證：△ACO∽△DBC；
（3）如果點E在x軸上，且在點B的右側，∠BCE=∠ACO，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（﹣1，0），點C（0，3），

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3，

∴頂點D的坐標為（1，4）

（2）解：∵當y=0時，0=﹣x2+2x+3，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴B（3，0），

又∵A（﹣1，0），D（1，4），

∴CD= ，BC=3 ，BD=2 ，AO=1，CO=3，

∴CD2+BC2=BD2，

∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，

∴∠AOC=∠DCB，

又∵ = ， = ，

∴ = ，

∴△ACO∽△DBC

（3）解：設CE與BD交于點M，

∵△ACO∽△DBC，

∴∠DBC=∠ACO，

又∵∠BCE=∠ACO，

∴∠DBC=∠BCE，

∴MC=MB，

∵△BCD是直角三角形，

∴∠BCM+∠DCM=90°=∠CBM+∠MDC，

∴∠DCM=∠CDM，

∴MC=MD，

∴DM=BM，即M是BD的中點，

∵B（3，0），D（1，4），

∴M（2，2），

設直線CE的解析式為y=kx+b，則

，

解得 ，

∴直線CE為：y=﹣ x+3，

當y=0時，0=﹣ x+3，

解得x=6，

∴點E的坐標為（6，0）．

【解析】（1）根據拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（﹣1，0），點C（0，3），即可求得b，c的值，進而得到拋物線的表達式及頂點D的坐標；（2）先根據B（3，0），A（﹣1，0），D（1，4），求得CD= ，BC=3 ，BD=2 ，AO=1，CO=3，進而得到CD2+BC2=BD2 ， 從而判定△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，最后根據∠AOC=∠DCB， = ，判定△ACO∽△DBC；（3）先設CE與BD交于點M，根據MC=MB，得出M是BD的中點，再根據B（3，0），D（1，4），得到M（2，2），最后根據待定系數法求得直線CE的解析式，即可得到點E的坐標．
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的逆定理(如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形)，還要掌握相似三角形的判定(相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）)的相關知識才是答題的關鍵．