Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于D．
（1）求證：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB= CD，求⊙O半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接CO，

，

∵CD與⊙O相切于點C，

∴∠OCD=90°，

∵AB是圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO=∠BCD，

∵∠ACO=∠CAD，

∴∠CAD=∠BCD，

在△ADC和△CDB中，

∴△ADC∽△CDB．

（2）解：設CD為x，

則AB= x，OC=OB= x，

∵∠OCD=90°，

∴OD= = = x，

∴BD=OD﹣OB= x﹣ x= x，

由（1）知，△ADC∽△CDB，

∴ = ，

即 ，

解得CB=1，

∴AB= = ，

∴⊙O半徑是

【解析】（1）首先連接CO，根據CD與⊙O相切于點C，可得：∠OCD=90°；然后根據AB是圓O的直徑，可得：∠ACB=90°，據此判斷出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．（2）首先設CD為x，則AB= x，OC=OB= x，用x表示出OD、BD；然后根據△ADC∽△CDB，可得： = ，據此求出CB的值是多少，即可求出⊙O半徑是多少．
【考點精析】利用切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．