Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣6x+c與x軸交于點(diǎn)A、B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，5），點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，連接PB、PC，PC與x軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)H、交直線BC于點(diǎn)E．

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)P在第四象限，則△BPC的面積有值（填“最大”或“最小”），并求出其值；
（3）當(dāng)t＜5時(shí)，△BPE能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（5，0），C（0，5），

∴c=5，0=25a﹣30+c，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x2﹣6x+5；

（2）最大
（3）

解：存在．理由如下：

由題意可知P（t，t2﹣6t+5），則H（t，0），E（t，﹣t+5），且△BHE為等腰直角三角形，

∴BE= BH= （5﹣t），

∵△BPE為等腰三角形，

∴有PE=PB、BE=BP和BE=PE三種情況，

①當(dāng)PE=PB時(shí)，由于∠PEB=45°，

∴△PEB為等腰直角三角形，點(diǎn)P在A點(diǎn)處，即P（1，0），符合題意；

②當(dāng)BE=BP時(shí)，由于PE⊥BH，

∴HE=HP，即點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴﹣t+5+t2﹣6t+5=0，解得t=2或t=5（不合題意，舍去），

∴P（2，﹣3）；

③當(dāng)BE=PE時(shí)，

∵△EHB為等腰直角三角形，

∴BE= HB= （5﹣t），且PE=|﹣t2+5t|，

∴|﹣t2+5t|= （5﹣t），解得t=± 或t=5（不舍題意，舍去），

∴P（ ，7﹣6 ）或（﹣ ，7+6 ）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（1，0）或（2，﹣3）或（ ，7﹣6 ）或（﹣ ，7+6 ）．

【解析】（2）∵B（5，0），C（0，5），
∴直線BC解析式為y=﹣x+5，
∵P的橫坐標(biāo)為t，連接PB、PC，PC與x軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)H、交直線BC于點(diǎn)E．
∴P（t，t2﹣6t+5），E（t，﹣t+5），
∴PE=﹣t+5﹣（t2﹣6t+5）=﹣t2+5t，
∴S△PBC= OBPE= ×5（﹣t2+5t）=﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴S△PBC有最大值，最大值為 ，
所以答案是：最大；
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．