Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2＋(1－m)x－m交x軸于A，B兩點(點A在點B的左邊)，交y軸負半軸于點C.

(1)如圖1，m＝3

①直接寫出A，B，C三點的坐標；

②若拋物線上有一點D，∠ACD＝45°，求點D的坐標；

(2)如圖2，過點E(m，2)作一直線交拋物線于點P，Q兩點，連接AP，AQ，分別交y軸于M，N兩點，求證：OMON是一個定值.

Answer 1

【答案】（1）①A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）；②D（4，5）；（2）見解析.

【解析】

（1）①將m=3代入拋物線y＝x2＋(1－m)x－m，得y=x2-2x-3，分別令x=0，y=0，即可得出A、B、C三點的坐標；
②過A作AK⊥AC交CD于點K，作KH⊥x軸于點H，證明△OAC≌△HKA，可得K（2，1），用待定系數法求出直線CD的解析式，與拋物線聯立解即可得出D的坐標；
（2）由題意，可得A（-1，0），B（m，0），設P（x1，y1），Q（x2，y2），因為直線PQ過點E（m，2），可得其解析式為y=ax+2-am，與拋物線聯立并消去y，得：x2+（1-m-a）x+am-m+2=0，所以x1+x2=a+m-1，x1x2=am-m-2，作PS⊥x軸于點S，作QT⊥x軸于點T，證明△AMO∽△APS，可得OM=x1-m，同理ON=-（x2-m），代入計算OMON，即可得出OMON是一個定值．

解：（1）①當m=3時，y＝x2＋(1－3)x－3 =x2-2x-3，
當x=0時，y=-3，
當y=0時，x2-2x-3=0，
解得：x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）；
②如圖1，過A作AK⊥AC交CD于點K，作KH⊥x軸于點H，

∵∠ACD=45°，
∴AC=AK，
∵∠AOC=∠KHA=90°，∠ACO=90°-∠OAC=∠KAH，
∴△OAC≌△HKA（AAS），
∴AH=CO=3，KH=OA=1，
∴K（2，1），
設直線CD的解析式為y=kx-3
∴2k-3=1，
∴k=2，
∴設直線CD的解析式為y=2x-3，
聯立，

解得x=0（舍去），或x=4，
∴D（4，5）；
（2）∵y=x2+（1-m）x-m，

當y=0時，x2+（1-m）x-m=0，
解得x=-1或x=m，
∴A（-1，0），B（m，0），
∵過點E（m，2）作一直線交拋物線于P、Q兩點，
設直線PQ的解析式為y=ax+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴2=am+b，b=2-am，
∴直線PQ的解析式為y=ax+2-am，
聯立 ，
消去 y，得：x2+（1-m-a）x+am-m-2=0，
∴x1+x2=a+m-1，x1x2=am-m-2，
如圖2，作PS⊥x軸于點S，作QT⊥x軸于點T，

∴PS∥y軸，
∴△AMO∽△APS，
∴，即 ，
∴OM=x1-m，
同理，ON=-（x2-m），
∴OMON=-（x1-m）（x2-m）=[x1x2m(x1+x2)+m2]=-[am-m-2-m（a+m-1）+m2]=2，為定值．