Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

(1)求點A、B、C的坐標；

(2)點M(m，0)為線段AB上一點(點M不與點A、B重合)，過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，可得矩形PQNM．如圖，點P在點Q左邊，試用含m的式子表示矩形PQNM的周長；

(3)當矩形PQNM的周長最大時，m的值是多少？并求出此時的△AEM的面積；

(4)在(3)的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ，過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G(點G在點F的上方)．若FG＝2DQ，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周長＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝﹣2；S＝；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．

【解析】

（1）利用函數圖象與坐標軸的交點的求法，求出點A，B，C的坐標；

（2）先確定出拋物線對稱軸，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的結論判斷出矩形周長最大時，確定出m，進而求出直線AC解析式，即可；

（4）在（3）的基礎上，判斷出N應與原點重合，Q點與C點重合，求出DQ＝DC＝，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．

(1)由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．

令y＝0，則0＝﹣x2﹣2x+3，

解得，x＝﹣3或x＝l，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)．

(2)由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3可知，對稱軸為x＝﹣1．

∵M(m，0)，

∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．

(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，

∴矩形的周長最大時，m＝﹣2．

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，

設直線AC的解析式y＝kx+b，

∴

解得k＝l，b＝3，

∴解析式y＝x+3，

令x＝﹣2，則y＝1，

∴E(﹣2，1)，

∴EM＝1，AM＝1，

∴S＝AM×EM＝．

(4)∵M(﹣2，0)，拋物線的對稱軸為x＝﹣l，

∴N應與原點重合，Q點與C點重合，

∴DQ＝DC，

把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，

∴D(﹣1，4)，

∴DQ＝DC＝．

∵FG＝2DQ，

∴FG＝4．

設F(n，﹣n2﹣2n+3)，則G(n，n+3)，

∵點G在點F的上方且FG＝4，

∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)＝4．

解得n＝﹣4或n＝1，

∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)．