Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直線l與⊙O相切于點D，且l∥BC

（1）求證：AD平分∠BAC

（2）作∠ABC的平分線BE交AD于點E，求證：BD=DE．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

（1）連接OD，由直線l與⊙O相切于點D可得出OD⊥l，結合l∥BC即可得出OD⊥BC，再根據垂徑定理即可得出，進而可得出∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；
（2）由角平分線的定義結合（1）的結論即可得出∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE，再根據三角形外角的性質即可得出∠EBD=∠DEB，由此即可證出BD=DE．

（1）連接OD，如圖所示．

∵直線l與⊙O相切于點D，

∴OD⊥l．

∵l∥BC，

∴OD⊥BC，

∴，

∴∠BAD=∠CAD，

∴AD平分∠BAC；

（2）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE．

又∵，

∴∠BAD=∠CBD，

∴∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE．

又∵∠DEB=BAE+∠ABE，

∴∠EBD=∠DEB，

∴BD=DE．