Question

【題目】如圖已知△CAB和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠BCA=∠DCE=.連BE，BD.

（1）如圖1，若∠BCA=60，BD與AE交于點F，求∠AFB的度數；

（2）如圖2，請探究∠EBD，∠AEB與之間的關系；

（3）如圖3，直接寫出∠EBD，∠AEB與之間的關系.

Answer 1

【答案】（1）60；（2）∠EBD-∠AEB=；（3）∠EBD+∠AEB+=360.

【解析】

（1）∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE=∠BCD，再由AC=BC和CE=CD可證明△ACE≌BCD，則∠CAE=∠CBD，由圖可知∠CAE+∠ACB=∠CBD+∠BFA，則∠AFB=∠ACB=60°；

（2）由AC=BC，EC=DC且∠ACE=∠α-∠ECB=∠BCD，易證△ACE≌BCD，則∠AEC=∠BDC，再由∠EBD=∠CEB+∠CDB+∠ECD可得

∠EBD=∠AEB+∠ECD=∠AEB+，則∠EBD-∠AEB=；

（3）同上易證△ACE≌BCD，從而∠CAE=∠CBD，由四邊形ECDB的內角和定理可得∠CEB+∠CBD+∠ECD+∠BDC=360°，則∠EBD+∠AEB+=360.

（1）∵∠ACE=∠ACB+∠BCE，∠BCD=∠DCE+∠BCE，

∴∠ACE=∠BCD，

又∵AC=BC，CE=CD，

∴△ACE≌BCD，

∴∠CAE=∠CBD，

∵∠CAE+∠ACB=∠CBD+∠BFA，

∴∠AFB=∠ACB=60°.

（2）∠EBD-∠AEB=.

證明：

∵∠ACE=∠ACB-∠BCE，∠BCD=∠DCE-∠BCE，

∴∠ACE=∠BCD，

又∵AC=BC，CE=CD，

∴△ACE≌BCD，

∴∠AEC=∠BDC，

∵∠EBD=∠CEB+∠CDB+∠ECD，

∴∠EBD=∠AEB+∠ECD=∠AEB+，

即∠EBD-∠AEB=.

（3）∠EBD+∠AEB+=360.

∵∠ACE=∠ACB-∠BCE，∠BCD=∠DCE-∠BCE，

∴∠ACE=∠BCD，

又∵AC=BC，CE=CD，

∴△ACE≌BCD，

∴∠CAE=∠CBD，

在四邊形ECDB中，

∵∠CEB+∠CBD+∠ECD+∠BDC=360°，

∴∠EBD+∠AEB+=360.