Question

【題目】定義：如圖，拋物線與軸交于兩點，點在拋物線上（點與兩點不重合），如果的三邊滿足，則稱點為拋物線的勾股點。

()直接寫出拋物線的勾股點的坐標；

()如圖，已知拋物線：與軸交于兩點，點是拋物線的勾股點，求拋物線的函數表達式；

()在()的條件下，點在拋物線上，求滿足條件的點（異于點）的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）Q有3個: 或或.

【解析】

（1）根據拋物線勾股點的定義即可得；

（2）作PG⊥x軸，由點P坐標求得AG=1、PG=、PA=2，得到,

從而求得AB=4，即B（4，0），待定系數法求解可得；

（3）由S△ABQ=S△ABP且兩三角形同底，可知點Q到x軸的距離為，據此求解可得．

解:

(1)拋物線的勾股點的坐標為；

(2)拋物線過原點,即點,如圖,作軸于點G,

∵點P的坐標為,

∴

∴,

∴在中, ,

∴,，即點B的坐標為（4,0）

∴不妨設拋物線解析式為,

將點代入得: ,即拋物線解析式為.

(3)①當點Q在x軸上方時,由知點Q的縱坐標為,

則有,

計算得出: (與P點重合，不符合題意,舍去),

∴點Q的坐標為;

②當點Q在x軸下方時,由知點Q的縱坐標為,

則有,

計算得出: ,

∴點Q的坐標為或；

綜上,滿足條件的點Q有3個: 或或.