Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．現有動點P從點A出發，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿線段CB也向點B方向運動．如果點P的速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，設運動的時間為t秒．

（1）用含t的代數式表示Rt△CPQ的面積S；

（2）當t＝3秒時，P、Q兩點之間的距離是多少？

（3）當t為多少秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】 ； 秒或秒時，以點、、為頂點的三角形與相似．

【解析】

（1）由點P，點Q的運動速度和運動時間，又知AC，BC的長，可將CP、CQ用含t的表達式求出，代入直角三角形面積公式S△CPQ=CP×CQ求解；

（2）在Rt△CPQ中，當t=3秒，可知CP、CQ的長，運用勾股定理可將PQ的長求出；

（3）應分兩種情況：當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，根據=，可求出時間t；當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，根據=，可求出時間t．

（1）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t，因此Rt△CPQ的面積為S=CP×CQ=（0≤t≤5）；

（2）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t，當t=3秒時，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm．

在Rt△CPQ中，由勾股定理得：PQ=；

（3）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t．

分兩種情況討論：

①當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，，即，解得：t=3秒；

②當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，，即，解得：t=秒．

因此t=3秒或t=秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．