Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，，是軸正半軸上一點，，若與互為相反數．

（1）求的值；

（2）如圖2，交軸于，以為邊的正方形的對角線交軸于．

①求證：；

②記，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析，②3

【解析】

（1）根據相反數的概念得出方程，求出的值，作AG⊥OB于G，利用含30度角的直角三角形的性質即可求得答案；

（2）①延長AC交y軸于點Q，作AP⊥OA交OB于P，利用“ASA”證得△OAQ△PAB，得到AQ= AB，，QC=2OC，再利用線段的和差即可證明；

②連接QF，利用“SAS”證得△FAQ△FAB，得到，從而證得結論．

（1）∵和互為相反數，

∴，

∴， ，
∴，

如圖：作AG⊥OB于G，

∵點A的坐標為(，)，即A (，)，

∴AG=OG=2，

在RtBAG中，∠ABG=30，AG=2，

∴AB=2AG=4，

BG=，

∴BO= OG+ BG=2+，

∴；

（2）①延長AC交軸于點Q，作AP⊥OA交OB于P，如圖：

由（1）得AG=OG=2，AG⊥OB，

∴∠AOG=45，

∵AP⊥OA，

∴∠APO=90-∠AOG =45，

∴∠APO=∠AOG=45，

∴AO=AP，∠APB=180-45 =135，

∠AOQ=90+45 =135，

∴∠APB=∠AOQ，

∵AP⊥OA，AC⊥AB，

∴∠OAP=∠CAB=90，

∴∠OAQ+∠CAP =∠PAB+∠CAP =90，

∴∠OAQ=∠PAB，

在△OAQ和△PAB中，

，

∴△OAQ△PAB(ASA)，

∴AQ= AB，，

在RtOQC中，∠OQC=30，

∴QC=2OC，

∵四邊形ACDE為正方形，

∴AC=AE，

∴BE=AB-AE=AQ-AC=QC=2OC；

②如圖，連接QF，

∵四邊形ACDE為正方形，AD為對角線，

∴，

由①得：AQ= AB，，QC=2OC，

∴，

在△FAQ和△FAB中，

，

∴△FAQ△FAB (SAS)，

∴QF=BF，

∴，

∴．