Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOBC的頂點C的坐標是（6，4），動點P從點A出發，以每秒1個單位的速度沿線段AC運動，同時動點Q從點B出發，以每秒2個單位的速度沿線段BO運動，當Q到達O點時，P，Q同時停止運動，運動時間是t秒（t＞0）．

（1）如圖1，當時間t＝　 秒時，四邊形APQO是矩形；

（2）如圖2，在P，Q運動過程中，當PQ＝5時，時間t等于　 秒；

（3）如圖3，當P，Q運動到圖中位置時，將矩形沿PQ折疊，點A，O的對應點分別是D，E，連接OP，OE，此時∠POE＝45°，連接PE，求直線OE的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝x．

【解析】

先根據題意用t表示AP、BQ、PC、OQ的長．

（1）由四邊形APQO是矩形可得AP＝OQ，列得方程即可求出t．

（2）過點P作x軸的垂線PH，構造直角△PQH，求得HQ的值．由點H、Q位置不同分兩種情況討論用t表示HQ，即列得方程求出t．根據t的取值范圍考慮t的合理性．

（3）由軸對稱性質，對稱軸PQ垂直平分對應點連線OC，得OP＝PE，QE＝OQ．由∠POE＝45°可得△OPE是等腰直角三角形，∠OPE＝90°，即點E在矩形AOBC內部，無須分類討論．要求點E坐標故過點E作x軸垂線MN，易證△MPE≌△AOP，由對應邊相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股定理為等量關系列方程即求出t．

∵矩形AOBC中，C（6，4）

∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4

依題意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）

∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t

（1）∵四邊形APQO是矩形

∴AP＝OQ

∴t＝6﹣2t

解得：t＝2

故答案為：2．

（2）過點P作PH⊥x軸于點H

∴四邊形APHO是矩形

∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°

∵PQ＝5

∴HQ＝

①如圖1，若點H在點Q左側，則HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t

∴6﹣3t＝3

解得：t＝1

②如圖2，若點H在點Q右側，則HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6

∴3t﹣6＝3

解得：t＝3

故答案為：1或3．

（3）過點E作MN⊥x軸于點N，交AC于點M

∴四邊形AMNO是矩形

∴MN＝OA＝4，ON＝AM

∵矩形沿PQ折疊，點A，O的對應點分別是D，E

∴PQ垂直平分OE

∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE

∵∠POE＝45°

∴∠PEO＝∠POE＝45°

∴∠OPE＝90°，點E在矩形AOBC內部

∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°

∴∠MPE＝∠AOP

在△MPE與△AOP中

∴△MPE≌△AOP（AAS）

∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t

∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t

∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2

∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2

∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2

解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝

∴AM＝+4＝，EN＝4﹣＝

∴點E坐標為（，）

∴直線OE的函數表達式為y＝x．