Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC相交于點D，E，BD＝CD，過點D作⊙O的切線交邊AC于點F．

（1）求證：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半徑為2，CF＝1，求的長（結果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，由切線的性質即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位線，根據三角形中位線的性質即可得出，根據平行線的性質即可得出∠CFD=∠ODF=90°，從而證出DF⊥AC；

（2）根據圓周角定理得出BE⊥AC，證得BE∥DF，即可根據三角形相似求得EC=2，根據三角形中位線的性質得出AC=4，即可得出AE=EC，進一步證得△ABC是等邊三角形，即可得出∠BOD=60°，根據弧長公式即可得出結論．

（1）證明：連接OD，如圖所示．

∵DF是⊙O的切線，D為切點，

∴OD⊥DF，

∴∠ODF＝90°．

∵BD＝CD，OA＝OB，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∴∠CFD＝∠ODF＝90°，

∴DF⊥AC．

（2）連接BE，

∵AB是直徑，

∴BE⊥AC，

∵DF⊥AC，

∴，

∵FC＝1，

∴EC＝2，

∵OD＝AC＝2，

∴AC＝4，

∴AE＝EC＝2，

∴AB＝BC，

∵AB＝AC＝4，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵OD∥AC，

∴∠BOD＝∠BAC＝60°，

∴的長：．