Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+6經過點A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為m（1＜m＜4）連接BC，DB，DC．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）△BCD的面積是否存在最大值，若存在，求此時點D的坐標；若不存在，說明理由；

（3）在（2）的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，D的坐標為（2，6）；（3）存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，點M的坐標為：（2，0）或（6，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

（1）根據點，利用待定系數法求解即可；

（2）先根據函數解析式求出點C、D坐標，再將過點D作y軸的平行線交BC于點E，利用待定系數法求出直線BC的函數解析式，從而得出點E坐標，然后根據得出的面積表達式，最后利用二次函數的性質求出的面積取最大值時m的值，從而可得點D坐標；

（3）根據平行四邊形的定義分兩種情況：BD為平行四邊形的邊和BD為平行四邊形的對角線，然后先分別根據平行四邊形的性質求出點N坐標，從而即可求出點M坐標．

（1）∵拋物線經過點

∴

解得

故拋物線的解析式為；

（2）的面積存在最大值．求解過程如下：

，當時，

由題意，設點D坐標為，其中

如圖1，過點D作y軸的平行線交BC于點E

設直線BC的解析式為

把點代入得

解得

∴直線BC的解析式為

∴可設點E的坐標為

由二次函數的性質可知：當時，隨m的增大而增大；當時，隨m的增大而減小

則當時，取得最大值，最大值為6

此時，

故的面積存在最大值，此時點D坐標為；

（3）存在．理由如下：

由平行四邊形的定義，分以下兩種情況討論：

①當BD是平行四邊形的一條邊時

如圖2所示：M、N分別有三個點

設點

∴點N的縱坐標為絕對值為6

即

解得（與點D重合，舍去）或或

則點的橫坐標分別為

∴點M坐標為或或

即點M坐標為或或

②如圖3，當BD是平行四邊形的對角線時

∴此時，點N與C重合，，且點M在點B右側

，即

綜上，存在這樣的點M，使得以點為頂點的四邊形是平行四邊形．點M坐標為或或或．