Question

3．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交BC的延長線于點M，若∠A=40°．
（1）求∠NMB的度數；
（2）如果將（1）中∠A的度數改為70°，其他條件不變，再求∠NMB的度數；
（3）通過對（1）中和（2）中結果的分析，猜想∠NMB的度數與∠A的度數有怎樣的等量關系？并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）先根據等腰三角形的性質得出∠B的度數，再由直角三角形的性質即可得出結論；
（2）解法同（1）；
（3）設∠A=α，根據AB=AC可知∠B=∠C，再由直角三角形的性質即可得出結論．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°；

（2）解法同（1），可得∠NMB=35°；

（3）兩者關系為：∠NMB的度數等于頂角∠A度數的一半，
證明：設∠A=α，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∵∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-$\frac{1}{2}$（180°-α）=$\frac{1}{2}$α．

點評 本題考查的是等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵．