Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=15，AC平分∠BAD，AC與BD交于點O，將△ABD繞點D順時針方向旋轉，得到△EFD，旋轉角為α（0°＜α＜180°）點A的對應點為點E，點B的對應點為點F

（1）求證：四邊形形ABCD是菱形
（2）若∠BAD=30°，DE邊為與AB邊相交于點M，當點F恰好落在AC上時，求證：MD=ME
（3）若△ABD的周長是48，EF邊與BC邊交于點N，DF邊與BC邊交于點P，在旋轉的過程中，當△FNP是直角三角形是，△FNP的面積是多少．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB∥CD，AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC，

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

∴∠DAC=∠ACD，

∴AD=DC，

∴四邊形ABCD是菱形．

（2）

證明：如圖1中，連接AE．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，BO=OD，AC⊥BD，

∴∠FOD=90°，

∵△ABD旋轉得到△EFD，

∴∠BDF=∠ADE，AD=DE，BD=DF，

∵點F恰好在AC上，

∴DF=2OD，

在Rt△FOD中，cos∠ODF= = ，

∴∠ADE=∠BDF=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴∠EAD=60°，

∵∠MAD=30°，

∴∠EAM=∠EAD﹣∠MAD=30°，

∴∠EAM=∠MAD，

∴DM=EM．

（3）

解：如圖2中，作EH⊥DF．

∵AB=AD=15，△ABD的周長為48，

∴BD=48﹣15﹣15=18，

當DF⊥BC時，△PNF是直角三角形，

在Rt△COB中，OC= =12，

∵ BDOC= BCDP，

∴DP= ，

∵DF=BD=18，

∴PF=18﹣ = ，

∵PN∥EH，

∴ = ，

∴ = ，

∴PN= ，

∴S△PNF= × × = ．

故答案為 ．

【解析】（1）根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）如圖1中，連接AE．只要證明△ADE是等邊三角形，利用等腰三角形的三線合一的性質即可證明；（3）如圖2中，作EH⊥DF．當DF⊥BC時，△PNF是直角三角形，想辦法求出PN、PF即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質和旋轉的性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．