Question

【題目】如圖，在三棱柱中， 為邊長為2的等邊三角形，平面平面，四邊形為菱形， ， 與相交于點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)平面平面，可得平面，∴；（2）以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得二面角的余弦值.

試題解析：（1）已知側(cè)面是菱形， 是的中點(diǎn)，

∵，∴

因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面，

平面平面，

∴平面，∴

（2）如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知可得， ， ，

∴， ， ， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量

， ，

由， ，得

，可得

因?yàn)槠矫?/span>平面， ，

∴平面

所以平面的一個(gè)法向量是

∴

即二面角的余弦值是.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.