Question

【題目】如圖，已知二次函數的頂點P的橫坐標為，且與y軸交于點C（0，－4）．

（1）求b，c的值；

（2）直線y=m(m>0)與該拋物線的交點為M，N（點M在點N的左側）點M關于y軸的對稱點為點M，點H的坐標為（3，0）．若四邊形ONMH的面積為18．求點H到OM的距離；

（3）是否在對稱軸的同側存在實數m、n(m<n)，當 時，y的取值范圍為 ？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=3,c=-4；（2）；（3）的取值范圍為，此時m=-3，n=-2

【解析】

（1）根據二次函數頂點坐標公式和C點的坐標列出二元一次方程組，求出b、c的值．
（2）首先設設M(t,m)，則N(3+t,m)，M'(t,m)，其中t>0，進而表示出M'N＝3＝OH，可知四邊形ONM'H為平行四邊形，從而求出四邊形ONM'H的高．所以M(5,6)，M'(5,6)，N(2,6)，再求出OM'的長度．最后根據三角形面積公式求出點H到OM′的距離；
（3）根據題意，分兩種情況：①當時；②當時；然后根據二次函數的最值的求法，求出滿足題意的實數m、n(m<n)，使得當m≤x≤n時，y的取值范圍為為即可.

解：（1）由題意可得，

，解得，；

（2）連接．設，則，，其中，

，的坐標為，

，，四邊形為平行四邊形，

，，

，代入，得，

解得，（不符合題意，舍去），

，，

又，

點到的距離；

（3）分兩種情況討論：

①當，即、在對稱軸的左側時，二次函數的值隨增大而減小，

，

，（1）得，

，解得或2或，同理由（2）得

或2或3，

，，；

②當，即、在對稱軸的右側時，二次函數的值隨增大而增大，

，

，（1），得，

，，

，，

將代入（2）

，

，得

，與上述矛盾，

沒有滿足的、．

綜上，在對稱軸的左側存在實數、，當時，的取值范圍為，此時m=-3，n=-2．