Question

【題目】如圖，已知拋物線經過原點O，頂點A（1，﹣1），且與直線y＝kx+2相交于B（2，0）和C兩點

（1）求拋物線和直線BC的解析式；

（2）求證：△ABC是直角三角形；

（3）拋物線上存在點E（點E不與點A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出點E的坐標；

（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點F，使△BDF是等腰三角形？若存在，請直接寫出點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）詳見解析；（3）E（）；（4）符合條件的點F的坐標（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．

【解析】

（1）將B（2，0）代入設拋物線解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，將B（2，0）代入y＝kx+2，求得k；

（2）分別求出AB2、BC2、AC2，根據勾股定理逆定理即可證明；

（3）作∠BCE＝∠ACB，與拋物線交于點E，延長AB，與CE的延長線交于點A'，過A'作A'H垂直x軸于點H，設二次函數對稱軸于x軸交于點G．根據對稱與三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，與拋物線解析式聯立，求得點E坐標；

（4）設F（1，m），分三種情況討論：①當BF＝BD時，，②當DF＝BD時，，③當BF＝DF時，，m＝1，然后代入即可．

（1）設拋物線解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，

將B（2，0）代入，

0＝a（2﹣1）2﹣1，

∴a＝1，

拋物線解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，

將B（2，0）代入y＝kx+2，

0＝2k+2，

k＝﹣1，

∴直線BC的解析式：y＝﹣x+2；

（2）聯立，

解得，，

∴C（﹣1，3），

∵A（1，﹣1），B（2，0），

∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，

AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，

BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）如圖，作∠BCE＝∠ACB，與拋物線交于點E，延長AB，與CE的延長線交于點A'，過A'作A'H垂直x軸于點H，設二次函數對稱軸于x軸交于點G．

∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90°，

∴點A與A'關于直線BC對稱，

AB＝A'B，

可知△AFB≌△A'HB（AAS），

∵A（1，﹣1），B（2，0）

∴AG＝1，BG＝OG＝1，

∴BH＝1，A'H＝1，OH＝3，

∴A'（3，1），

∵C（﹣1，3），

∴直線A'C：，

聯立：，

解得或，

∴E（，）；

（4）∵拋物線的對稱軸：直線x＝1，

∴設F（1，m），

直線BC的解析式：y＝﹣x+2；

∴D（0，2）

∵B（2，0），

∴BD＝

，

，

①當BF＝BD時，，

m＝±，

∴F坐標（1，）或（1，﹣）

②當DF＝BD時，，

m＝2±，

∴F坐標（1，2+）或（1，2﹣）

③當BF＝DF時，，

m＝1，

F（1，1），此時B、D、F在同一直線上，不符合題意．

綜上，符合條件的點F的坐標（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．