Question

（2012•金平區模擬）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于A（-4，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC的周長最小？若存在，請直接寫出△PBC周長的最小值與點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解答即可，把函數解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標；
（2）根據二次函數解析式求出點C的坐標，然后求出OA、OB、OC的長，再求出AB，利用勾股定理列式求出BC²、AC²，然后根據勾股定理逆定理解答；
（3）根據軸對稱確定最短路線問題，AC與對稱軸的交點即為所求的點P，利用勾股定理列式求出AC的長，則周長最小值=AC+BC，再求出直線AC的解析式，然后把頂點的橫坐標代入解析式計算求出y值，即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于A（-4，0）、B（1，0）兩點，
∴

0=16a-4b+2 0=a+b+2

，
解得

a=- 1 2 b=- 3 2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²-

3

2

x+2，
∵y=-

1

2

x²-

3

2

x+2=-

1

2

（x²+3x+

9

4

-

9

4

）+2=-

1

2

（x+

3

2

）²+

25

8

，
∴頂點D的坐標為（-

3

2

，

25

8

）；

（2）△ABC是直角三角形．
證明如下：當x=0時y=2，∴C（0，2），OC=2，
∵A（-4，0）、B（1，0），
∴OA=4，OB=1，AB=5，
∴AB²=25，
在Rt△AOC與Rt△BOC中，
AC²=OA²+OC²=20，BC²=OC²+OB²=5，
∴AC²+BC²=AB²；
∴△ABC是直角三角形；

（3）存在．
∵A、B關于對稱軸直線x=-

3

2

對稱，
∴AC與對稱軸的交點即為點P，
根據勾股定理，AC=

42+22

=2

5

，
∵BC²=OC²+OB²=5，
∴BC=

5

，
∴最小周長=PB+PC+BC=AP+PC+BC=AC+BC=2

5

+

5

=3

5

，
設直線AC的解析式為y=kx+m，
則

-4k+m=0 m=2

，
解得

k= 1 2 m=2

，
所以，直線AC的解析式為y=

1

2

x+2，
x=-

3

2

時，y=

1

2

×（-

3

2

）+2=

5

4

，
所以，點P的坐標為（-

3

2

，

5

4

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，頂點坐標的求解，勾股定理逆定理的應用，利用軸對稱確定最短路線問題，（3）根據軸對稱的性質確定出點P的位置是解題的關鍵．