Question

（2012•金平區模擬）如圖所示，n+1個直角邊長為1的等腰直角三角形，斜邊在同一直線上，設△B₂D₁C₁的面積為S₁，△B₃D₂C₂的面積為S₂，…，△B_n+1D_nC_n的面積為S_n，則S₁=

1

4

，S_n=

n

2(n+1)

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：連接B₁、B₂、B₃、B₄、B₅點，顯然它們共線且平行于AC₁，依題意可知△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，知道△B₁B₂D₁與△C₁AD₁相似，求出相似比，根據三角形面積性質可得S_1S，同理：B₂B₃：AC₂=1：2，所以B₂D₂：D₂C2=1：2，所以S₂=

2

3

×

1

2

=

1

3

，同樣的道理，即可求出S₃，S₄…S_n．

解答：解：∵n+1個邊長為1的等腰三角形有一條邊在同一直線上，
∴S_△AB1C1=

1

2

×1×1=

1

2

，
連接B₁、B₂、B₃、B₄、B₅點，顯然它們共線且平行于AC₁
∵∠B₁C₁B₂=90°
∴A₁B₁∥B₂C₁
∴△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，且邊長=1，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
故答案為：

1

4

；
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
同理：B₃B₄：AC₃=1：3，
∴B₃D₃：D₃C₃=1：3，
∴S₃=

3

4

×

1

2

=

3

8

，
∴S₄=

4

5

×

1

2

=

2

5

，
…
∴S_n=

n

2(n+1)

故答案為：

n

2(n+1)

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的定義和性質、三角形的面公式等知識點、本題關鍵在于作好輔助線，得到相似三角形，求出相似比，就很容易得出答案了，意在提高同學們總結歸納的能力．