Question

【題目】定義：如圖，若點D在的邊AB上，且滿足，則稱滿足這樣條件的點為的“理想點”

如圖，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；

如圖，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長；

如圖，已知平面直角坐標系中，點，，C為x軸正半軸上一點，且滿足，在y軸上是否存在一點D，使點A，B，C，D中的某一點是其余三點圍成的三角形的“理想點”若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】 見解析;(2);(3)存在，理由見解析.

【解析】

結論：點D是的“理想點”只要證明∽即可解決問題；

只要證明即可解決問題；

如圖中，存在有三種情形：過點A作交CB的延長線于M，作軸于構造全等三角形，利用平行線分線段成比例定理構建方程求出點C坐標，分三種情形求解即可解決問題；

解：結論：點D是的“理想點”．
理由：如圖中，

是AB中點，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
點D是的“理想點”，
如圖中，

點D是的“理想點”，
或，
當時，
，
，
，
當時，同法證明：，
在中，，，，
，
，
．
如圖中，存在有三種情形：

過點A作交CB的延長線于M，作軸于H．
，，
，
，
，，
，
≌，
，，設，
，，
，，，，
，
，
，
解得或舍棄，
經檢驗是分式方程的解，
，，
當時，點A是的“理想點”設，
，，
∽，
，
，
解得，
．
當時，點A是的“理想點”．
易知：，
，
．
當時，點B是的“理想點”．
易知：，
，
．
綜上所述，滿足條件的點D坐標為或或．